虎克定律矢量形式


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我正在研究彈簧模型。有一個建議的方程式(胡克定律矢量形式),但是,我不明白如何推導該方程式。

我正在閱讀"計算機動畫算法和技術第三版"。在第241頁中,(7.88)公式如下:

($ | v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * | $:剩余長度)

($ | v_ {1}-v_ {2} | $:當前長度)

$ F_s =(\ frac {k_s | v_1 -v_2 |-| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |} {{| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |}})\ frac {(v_1 -v_2)} {| v_1 -v_2 |} $ //我認為$ k_s $是錯字。

(我指的是http://www2.cs.uregina.ca/~anima/408/Notes/Cloth/Cloth.htm

因此,也許$ F_s = k_s(\ frac {| v_1 -v_2 |-| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |} {\ color {red} {| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |}})\ frac {(v_1 -v_2)} {| v_1 -v_2 |} \ cdot \ cdot $(1)是正確的。

但是,我想知道為什麼紅色部分將等式除掉了?

如果我正確地了解了胡克定律,則$ F = -k_s(current_ {lenght}-rest_ {length})\ cdot \ cdot $(2)。

這意味著應該刪除紅色部分,就像$ F_s = k_s(| v_1 -v_2 |-| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |)\ frac {(v_1 -v_2)}{| v_1 -v_2 |} \ cdot \ cdot $(3)。

例如,在3D空間中,有一個彈簧,其彈簧項為$ k_s $。

靜止長度為'3',因此我們假設左邊的靜止點$ v_2 ^ * $固定為(0,0,0),右邊的靜止點$ v_1 ^ * $是(3,0,0)。

然後我們用力將$ v_1 ^ * $移至$ v_1 $ =(5,0,0)。我們可以用(2)計算力,力為$ -2k_s = -k_s(|(5,0,0)-(0,0,0)|--(3,0,0)-(0,0,0)|)$

但是,如果我們使用方程式(1),結果將有所不同。

$ F_s = -k_s(\ frac {| v_1 -v_2 |-| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ * |} {{| v_ {1} ^ *-v_ {2} ^ *|}})\ frac {(v_1 -v_2)} {| v_1 -v_2 |} \\\ quad = -k_s(\ frac {|(5,0,0)-(0,0,0)|--|(3,0,0)-(0,0,0)|} {{|(3,0,0)-(0,0,0)|}}})\ frac {((5,0,0)-(0,0,0))} {|(5,0,0)-(0,0,0)|} \\\ quad =-\ frac {2} {3} k_s(1,0,0)$

$-\ frac {2} {3} k_s(1,0,0)$的作用力與$ -2k_s $完全不同

你能解釋我錯了嗎?

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If we sidestep your typo (the last term has one absolute too much), both formulations are correct. They just express different things. The $k$ in Hooke's law is for a particular spring. $k_s$ is the siffness for a paricular material.

Now in the linear portion there is a direct relationship betwen these the material stffness is directly propotional to the spring factor and length of member. So for example when the rest length of a different spring with same material is 2 times as long its 1/2 as stiff.