線性化兩個二進制求和的平方根


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我的問題與this one相似,但更為複雜。儘管我的問題還包括索引,但為了方便閱讀,我將其刪除。

讓二進制變量 $ x,y \ in \ {0,1 \} $ ,非負連續變量$ z \ in \ mathbb {R} ^ + $ 和參數 $ \ lambda \ in \ mathbb {R} ^ + $ 。有沒有辦法線性化下面的等式約束?

$$ \ displaystyle z = \ sqrt {\ lambda \ left(x + y \ right)} $$

我們可以從 $ \ alpha = x + y $ 這一事實中受益嗎,其中 $ \ alpha \ in \{0,1,2 \} $ 並編寫其他約束?

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For $j\in\{0,1,2\}$, introduce binary variable $w_j$ to indicate whether $x+y=j$, and then impose the following linear constraints: \begin{align} \sum_{j=0}^2 w_j &= 1 \\ \sum_{j=0}^2 j\cdot w_j &= x+y \\ \sqrt{\lambda}\sum_{j=0}^2 \sqrt{j}\cdot w_j &= z \end{align}