在目標函數中實現平方項的問題


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我正在嘗試實現這些目標功能之一,但是對於平方項卻很難。我將兩者都附上,以便您可以看一下結構,看看是否可以給我任何提示。有什麼方法可以實現其中之一嗎?

1-矩陣符號:

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$ x $ :決策變量

$ 1 $ :一列

$ k $ :平方矩陣

2-求和符號:

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$ x $ :決策變量 $ m $ :節點i的度 $ rho $ :該參數考慮了圍繞節點i的鄰居的影響 $ a $ :鄰接矩陣的項。顯示節點i和j是否連接

提前謝謝!

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It's relatively easy to write $(1^{T}Kx)^{2}$ in standard quadratic form.

Since $1^{T}Kx$ is a scalar,

$(1^{T}Kx)^{2}=(1^{T}Kx)(1^{T}Kx)^{T}=1^{T}Kxx^{T}K^{T}1$.

Using the cyclic property of the trace of a product of matrices,

$1^{T}Kxx^{T}K^{T}1=\mbox{tr}(1^{T}Kxx^{T}K^{T}1)=\mbox{tr}(x^{T}K^{T}11^{T}Kx)=x^{T}(K^{T}11^{T}K)x$.

Unfortunately, $K^{T}11^{T}K$ will be dense, so if $x$ is large you'll probably run out of storage.