零波動期權定價


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假設資產根據SDE隨時間變化

$$dS = \ mu S dt + \ sigma S dW,$$ 其中 $ \ mu> 0,\ sigma> 0 $ 是固定常數,而 $ dW $ 是維納處理。要為該基礎期權定價,您需要使用德爾塔套期保值或風險中性定價的整個過程來獲取BS方程,並最終獲得期權的價值 $ V(S,t)$ 。現在,我正在考慮如果波動,即 $ \ sigma = 0 $ ,會發生什麼。我的問題是:在這種情況下,您如何定價期權?

由於 $ dS = \ mu S dt $ ,現在的動力學已經完全確定了,我們可以將存量作為時間的函數,作為

$$S(t)= S_0e ^ {\ mut}$$

因此,給定某個起始價格 $ S_0 $ ,到期時 $ T $ 的庫存將始終 $ S(T)= S_0e ^ {\ mu T} $ 。要給期權定價,您必須考慮套利機會。讓我們從調用開始:從常規套利參數開始,您已經知道 $ S(t)-Ee ^ {-r(Tt)} \ leq C(t)\ leq S(t)$ 。這是通過創建多頭股票和看空期權的投資組合,並查看 $ t = T $ 的範圍來實現的。將此應用於我們奇怪的確定性案例,得出

$$S_0e ^ {\ mut} -Ee ^ {-r(T-t)} \ leq C(t)\ leq S_0e ^ {\ mut}$$

我知道通話的方式,但是我想要一個精確的公式。如果您考慮一下,因為我們知道 $ S(T)= S_0e ^ {\ mu T} $ ,那麼任何行使價為 $ E \ geq S_0e ^ {\ mu T} $ 在到期時將一文不值,因為 $ C(T)= \ max(S(T)-E,0)$ 。因此,這給出了

$$C(t)\ equiv 0,\ \ forall E \ geq S_0e ^ {\ mu T}$$

對於 $ E ,該選項肯定是非零的,但是我很難找到它的含義。我知道您必須以某種方式考慮無風險利率,但是由於您構建的任何投資組合都是無風險的,因此不會無限套利嗎?我的意思是:假設您購買了行使價為 $ E 的期權。然後,您到期時的利潤將總是

$$\ text {Profit} _T = S_0e ^ {\ mu T}-E$$

因此,該值應至少為該值,即 $ C(t)\ geq S_0e ^ {\ mu T}-E $ 。時間折扣使 $ C(t)= e ^ {-r(T-t)}(S_0e ^ {\ mu T} -E)$ 。但是,這似乎不正確。任何想法將不勝感激。

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The only missing point is that, by NA, if an asset has zero volatility, it is riskless and must therefore grow at the risk-free interest rate: $\mu \equiv r$ (Else, you buy the highest yielding asset and sell the lowest yielding).

In such situation, the valuation of an option is straightforward: it is the discounted payoff $e^{-r\left(T - t\right)} \left[S_t e^{r\left(T - t\right)} - K \right]^+ = \left[S_t - Ke^{-r\left(T - t\right)} \right]^+$.

That makes every OTM/ATM option worthless, and every ITM option worth exactly the PV of its known payoff, when the “money” is defined as $K = S_t e^{r\left(T - t\right)}$, the forward price.